Question

2．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，點D（2，y₀）在拋物線C上，且|DF|=3，直線y=x-1與拋物線C交于A，B兩點，O為坐標原點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據題意，由拋物線的定義，可得$2+\frac{p}{2}=3$，解可得p=2，代入標準方程，即可得答案；
（2）聯立直線與拋物線的方程，消去y得x²-6x+1=0，進而設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由一元二次方程根與系數的關系可得x₁+x₂=6，結合拋物線的幾何性質，可得|AB|的長，由點到直線距離公式可得O到直線y=x-1，進而由三角形面積公式計算可得答案．

解答 解：（1）根據題意，D（2，y₀）在拋物線y²=2px，上且|DF|=3
由拋物線定義得$2+\frac{p}{2}=3$，∴p=2
故拋物線的方程為y²=4x；
（2）由方程組$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y得x²-6x+1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=6；
∵直線y=x-1過拋物線y²=4x的焦點F，
∴|AB|=x₁+x₂+p=6+2=8
又O到直線y=x-1的距離$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴△ABO的面積$S=\frac{1}{2}|AB|d=2\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線的幾何性質，涉及直線與拋物線的位置關系，關鍵是利用拋物線的幾何性質求出其標準方程．