Question

12．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），圓O：x²+y²=b²，過橢圓C的上頂點A的直線l：y=kx+b分別交圓O、橢圓C于不同的兩點P、Q，設$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PQ}$．
（1）若點P（-3，0），點Q（-4，-1），求橢圓C的方程；
（2）若λ=3，求橢圓C的離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由P（-3，0）在圓O上，可得b=3．再由點Q在橢圓C上求得a．則橢圓方程可求；
（2）分別聯立直線方程與圓、橢圓的方程，求出P、Q的橫坐標，由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PQ}$，λ=3，得$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AQ}$，代入點的坐標可得${k}^{2}=\frac{3{a}^{2}-4{b}^{2}}{{a}^{2}}=4{e}^{2}-1$．再由k²＞0求得e的取值范圍．

解答 解：（1）由P（-3，0）在圓O：x²+y²=b²上，可得b=3．
又點Q在橢圓C上，得$\frac{（-4）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（-1）^{2}}{{3}^{2}}=1$，解得a²=18．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={b}^{2}}\end{array}\right.$，得x=0或x_P=$-\frac{2kb}{1+{k}^{2}}$，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得x=0或x_Q=$-\frac{2kb{a}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PQ}$，λ=3，∴$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AQ}$，
∴$\frac{2kb{a}^{2}}{{k}^{2}{a}^{2}+{b}^{2}}•\frac{3}{4}=\frac{2kb}{1+{k}^{2}}$，即${k}^{2}=\frac{3{a}^{2}-4{b}^{2}}{{a}^{2}}=4{e}^{2}-1$．
∵k²＞0，∴4e²＞1，得e$＞\frac{1}{2}$，或$e＜-\frac{1}{2}$．
又0＜e＜1，∴$\frac{1}{2}＜e＜1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查橢圓標準方程的求法，考查平面向量在求解圓錐曲線問題中的應用，是中檔題．