Question

17．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2-|x|，x≤2\\{（x-2）^2}，x＞2\end{array}\right.$，若方程f（x）+f（2-x）=t恰有4個不同的實數根，則實數t的取值范圍是（$\frac{7}{4}$，2）．

Answer 1

分析 方程f（x）+f（2-x）=t恰有4個不同的實數根?g（x）=f（x）+f（2-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2，x＜0}\\{2，0≤x≤2}\\{{x}^{2}-5x+8，x＞2}\end{array}\right.$與y=t的交點，畫出圖象，根據圖象即可求解．

解答 解：由$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2-|x|，x≤2\\{（x-2）^2}，x＞2\end{array}\right.$，
得f（2-x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-|2-x|，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
g（x）=f（x）+f（2-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2，x＜0}\\{2，0≤x≤2}\\{{x}^{2}-5x+8，x＞2}\end{array}\right.$
畫出函數g（x）的圖象（如圖），f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$）=$\frac{7}{4}$．
方程f（x）+f（2-x）=t恰有4個不同的實數根，則實數t的取值范圍是：（$\frac{7}{4}，2$）
故答案為：（$\frac{7}{4}，2$）

點評 本題考查了函數的解析式，函數與方程思想、數形結合思想，屬于難題．