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19.已知P為△ABC內一點,且5$\overrightarrow{AP}$-2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$,則△PAC的面積與△ABC的面積之比等于$\frac{2}{5}$.

分析 由5$\overrightarrow{AP}$-2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$,可得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$,延長AP交BC于D,則$\frac{5}{3}\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$,從而可以得到D是BC邊的三等分點,且CD=$\frac{2}{3}$CB,即可得出.

解答 解:∵5$\overrightarrow{AP}$-2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$,∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$,
延長AP交BC于D,則$\frac{5}{3}\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$,
從而可以得到D是BC邊的三等分點,且CD=$\frac{2}{3}$CB,
設點B到邊AC的距離為d,則點P到邊AC的距離為$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{5}$d=$\frac{2}{5}$d,
所以△PAC的面積與△ABC的面積之比為$\frac{2}{5}$.
故答案為:$\frac{2}{5}$.

點評 本題考查了向量線性運算法則、向量共線定理、三角形面積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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第1行1
第2行2   4   8
第3行16  32  64  128   256
A.229B.230C.231D.232

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A.($\frac{1}{3}$,1)B.($\frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}$)C.($\frac{1}{3}$,$\frac{5}{8}$)D.($\frac{5}{8}$,1)

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