Question

10．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）求向量$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{AE}$（用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示）；
（2）若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{AF}$（λ，μ∈R），求λ+μ的值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}$，由此能求出結果．
（2）$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，從而得到$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=$λ（\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）+μ（\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}）$，由此能求出λ+μ的值．

解答 解：（1）∵在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$．
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$．
$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}$
=（$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$）-（$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$．
（2）∵$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{AF}$（λ，μ∈R），
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=$λ（\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）+μ（\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}）$
=$（\frac{1}{2}λ+μ）\overrightarrow{a}$+（$λ+\frac{1}{2}μ$）$\overrightarrow{b}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}λ+μ=1}\\{λ+\frac{1}{2}μ=1}\end{array}\right.$．解得$λ=μ=\frac{2}{3}$，
∴λ+μ=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查向量的求法，考查兩數和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量的加法法則的合理運用．