Question

20．若a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\sqrt{ab}$．
（1）求a²+b²的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a+3b=4？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\sqrt{ab}$，利用基本不等式的性質可得2$\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$即ab≥2，利用基本不等式的性質可得a²+b²≥2ab≥4，即可得出a²+b²的最小值；
（2）a＞0，b＞0，利用（1）及基本不等式的性質可得2a+3b≥2$\sqrt{6ab}$≥4$\sqrt{3}$，由4$\sqrt{3}$＞4，不存在2a+3b=4．

解答 解：（1）由$\sqrt{ab}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥$\frac{2}{\sqrt{ab}}$，解得：ab≥2，
且當a=b=$\sqrt{2}$時，等號成立．
故a²+b²≥2ab≥4，
∴a²+b²的最小值為4．
（2）不存在滿足題意的a，b，
理由：由（1）知，2a+3b≥2$\sqrt{6ab}$≥4$\sqrt{3}$，
由于4$\sqrt{3}$＞4，
從而不存在a，b，使得2a+3b=4．

點評 本題考查基本不等式的性質及應用，考查轉化思想，計算能力，屬于基礎題．