Question

12．已知函數y=$\frac{1}{{{2^{{x^2}+2x+2}}}}$．
（1）求函數的定義域和值域；
（2）求函數的單調區間．

Answer 1

分析 （1）由指數函數的值域可得函數y=$\frac{1}{{{2^{{x^2}+2x+2}}}}$的定義域；
（2）直接利用復合函數的單調性求得函數的單調區間．

解答 解：（1）∵${2}^{{x}^{2}+2x+2}＞0$恒成立，∴函數y=$\frac{1}{{{2^{{x^2}+2x+2}}}}$的定義域為R；
∵x²+2x+2=（x+1）²+1≥1，∴${2}^{{x}^{2}+2x+2}≥2$，則y=$\frac{1}{{{2^{{x^2}+2x+2}}}}$∈（0，$\frac{1}{2}$]；
（2）∵函數y=x²+2x+2在（-∞，-1]上為減函數，在（-1，+∞）上為增函數，
由復合函數的單調性得y=${2}^{{x}^{2}+2x+2}$在（-∞，-1]上為減函數，在（-1，+∞）上為增函數，
∴函數y=$\frac{1}{{{2^{{x^2}+2x+2}}}}$在（-∞，-1]上為增函數，在（-1，+∞）上為減函數．

點評 本題考查復合函數的定義域和值域的求法，考查復合函數的單調性，是中檔題．