Question

1．已知圓C：x²+（y-2）²=5，直線l：mx-y+1=0．
（1）求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同交點；
（2）若圓C與直線l相交于A，B兩點，求弦AB的長度．

Answer 1

分析 （1）根據直線mx-y+1=0，恒過定點（0，1），點在圓C內部，可得結論；
（2）求出圓心C（0，2）到直線mx-y+1=0的距離，代入圓的弦長公式，可得答案．

解答 解：（1）直線mx-y+1=0恒過定點（0，1），且點（0，1）在圓C：x²+（y-2）²=5的內部，
所以直線l與圓C總有兩個不同交點．
（2）圓心C（0，2）到直線mx-y+1=0的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
所以弦AB的長度=2$\sqrt{5-\frac{1}{{m}^{2}+1}}$=2$\sqrt{\frac{5{m}^{2}+4}{{m}^{2}+1}}$．

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，熟練掌握圓的弦長公式是解答的關鍵．