Question

4．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若$\overrightarrow m$=（2b，1），$\overrightarrow n$=（ccosA+acosC，cosA），且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$．
（1）求角A的值；
（2）若$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AD}$，AB=$\sqrt{3}$，AD=2，求sin∠BAD．

Answer 1

分析 （1）利用向量平行的坐標運算得到關(guān)于三角形內(nèi)角的三角函數(shù)式，結(jié)合三角恒等變換得到關(guān)于A 的余弦值求得A．
（2）運用向量等式得到D為三角形的重心，以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，通過解三角形解答．

解答 解：（1）因為$\overrightarrow m$=（2b，1），$\overrightarrow n$=（ccosA+acosC，cosA），且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$．
所以ccosA+acosC=2bcosA，由正弦定理得到sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA，所以sin（A+C）
=sinB=2sinBcosA，所以cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π）所以A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）又因為$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AD}$，則D為△ABC的重心，以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，因為AD=2，
所以AE=6，在△ABE中，$AB=\sqrt{3}$，∠ABE=120°．
由正弦定理可得$\frac{{\sqrt{3}}}{sin∠AEB}=\frac{6}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}$，解得$sin∠AEB=\frac{1}{4}$且$cos∠AEB=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．
因此sin∠BAD=sin（$\frac{π}{3}$-∠BAD）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{15}}{4}-\frac{1}{2}×\frac{1}{4}=\frac{3\sqrt{5}-1}{8}$．…（12分）

點評 本題考查了向量平行的坐標運算以及三角恒等變形和解三角形；屬于中檔題．