Question

14．已知a＞0且a≠1，解關于x的不等式2log_a（x-1）＞log_a[1+a（x-2）]．

Answer 1

分析 由對數函數的單調性化對數不等式為一元二次不等式組求解．

解答 解：∵a＞0且a≠1，則$a-（2-\frac{1}{a}）=\frac{（a-1）^{2}}{a}＞0$，即a＞2-$\frac{1}{a}$．
當a＞1時，有$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{1+a（x-2）＞0}\\{（x-1）^{2}＞1+a（x-2）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x＞2-\frac{1}{a}}\\{（x-2）（x-a）＞0}\end{array}\right.$，
則當a≥2時，解集為{x|x＞a或2-$\frac{1}{a}$＜x＜2}；
當1＜a＜2時，解集為{x|x＞2或2-$\frac{1}{a}$＜x＜a}；
當0＜a＜1時，有$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{1+a（x-2）＞0}\\{（x-1）^{2}＜1+a（x-2）}\end{array}\right.$，
解得a＜x＜2，即解集為{x|1＜x＜2}．

點評 本題考查對數不等式的解法，考查分類討論的數學思想方法，是中檔題．