Question

9．設x，y∈R且滿足3≤xy²≤8，4≤$\frac{{x}^{2}}{y}$≤6，則$\frac{{x}^{3}}{{y}^{4}}$∈[2，12]．

Answer 1

分析 根據不等式的性質求出（ $\frac{{x}^{2}}{y}$）²∈[16，36]，$\frac{1}{{xy}^{2}}$∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{3}$]，從而求出$\frac{{x}^{3}}{{y}^{4}}$的范圍即可．

解答 解：∵實數x，y滿足3≤xy²≤8，4≤$\frac{{x}^{2}}{y}$≤6，
則有：（ $\frac{{x}^{2}}{y}$）²∈[16，36]，$\frac{1}{{xy}^{2}}$∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{3}$]，
又 $\frac{{x}^{3}}{{y}^{4}}$=（ $\frac{{x}^{2}}{y}$）²•$\frac{1}{{xy}^{2}}$∈[2，12]，
故答案為：[2，12]．

點評 本題考查了不等式的基本性質，考查轉化思想，是一道中檔題．