Question

8．設a∈R，函數f（x）=lnx-ax．
（I） 求f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）設F（x）=f（x）+ax²+ax，問F（x）是否存在極值，若存在，請求出極值；若存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數的定義域，求出函數f（x）的導函數，然后分類討論，當a≤0時，f（x）的單調增區間為
（-∞，+∞），當a＞0時，f（x）的單調增區間為（0，$\frac{1}{a}$）；
（Ⅱ）首先求出F（x）的導函數，然后分類討論，當a≥0時，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上無極值；當a＜0時，F（x）有極大值，無極小值；

解答 （Ⅰ）解：在區間（0，+∞）上，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
（1）當a≤0時，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，f（x）的單調增區間為（0，+∞）；
（2）當a＞0時，令f′（x）＞0，即 $\frac{1-ax}{x}$＞0，得0＜x＜$\frac{1}{a}$
∴f（x）的單調增區間為（0，$\frac{1}{a}$）；
綜上所述：
當a≤0時，f（x）的單調增區間為（0，+∞），
當a＞0時，f（x）的單調增區間為（0，$\frac{1}{a}$）；
（Ⅱ）由F（x）=f（x）+ax²+ax=lnx-ax+ax²+ax=lnx+ax²
得F′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax=$\frac{2{ax}^{2}+1}{x}$（ x＞0），
當a≥0時，恒有F′（x）＞0，
∴F（x）在（0，+∞）上無極值；
當a＜0時，令F′（x）=0，得x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，
x∈（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$），F′（x）＞0，F′（x）單調遞增，
x∈（ $\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞），F′（x）＜0，F′（x）單調遞減．
∴F極大值（x）=F（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）=ln$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$-$\frac{1}{2}$，
F（x）無極小值．
綜上所述：
a≥0時，F（x）無極值，
a＜0時，F（x）有極大值ln $\sqrt{-\frac{1}{2a}}$-$\frac{1}{2}$，無極小值．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數研究函數的極值問題，考查了學生的運算能力，計算量比較大，設a∈R，函數f（x）=lnx-ax．求f（x）的單調遞增區間．