Question

1．f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$）．
（1）求f（x）的對稱軸和對稱中心；
（2）求函數f（x）在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上的最小值和最大值，并求出取得最值時的x值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦函數的圖象的圖象的對稱性，求得f（x）的對稱軸和對稱中心．
（2）利用余弦函數的定義域和值域，求得函數的最值，以及取得最值時的x值．

解答 解：（1）對于f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$），令2x-$\frac{π}{4}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，
可得函數的對稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
令2x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{8}$，可得函數的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{8}$，0），k∈Z．
（2）因為在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），
故當2x-$\frac{π}{4}$=0時，函數f（x）取得最大值為$\sqrt{2}$，此時，x=$\frac{π}{8}$；
當2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$時，函數f（x）取得最小值為$\sqrt{2}$•（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-1，此時，x=$\frac{π}{2}$．

點評 本題主要考查余弦函數的圖象的圖象的對稱性，余弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．