Question

16．已知{a_n}的前n項和S_n=$\frac{{{n^2}+n}}{2}$+1，則數列{${\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前99項和T₉₉=$\frac{37}{50}$．

Answer 1

分析 由當n=1時，a₁=S₁=$\frac{1+1}{2}$+1=2，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n，因此a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2}&{n=1}\\{n}&{n≥2}\end{array}\right.$，數列{a_n}是從第二項起以2位首項，以1為公差的等差數列，當n≥2時，${\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，T₉₉=$\frac{1}{{a}_{1}×{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}×{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}×{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{99}×{a}_{100}}$=$\frac{1}{4}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{100}$=$\frac{37}{50}$．

解答 解：由題意可知：當n=1時，a₁=S₁=$\frac{1+1}{2}$+1=2，
當n≥2時，S_n-1=$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$+1，
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{{n^2}+n}}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=$\frac{{{n^2}+n}}{2}$-$\frac{{n}^{2}-n}{2}$=n，
當n=1時，不成立，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2}&{n=1}\\{n}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴數列{a_n}是從第二項起以2位首項，以1為公差的等差數列，
當n≥2時，${\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
列{${\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前99項和T₉₉=$\frac{1}{{a}_{1}×{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}×{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}×{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{99}×{a}_{100}}$，
=$\frac{1}{2×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{99×100}$，
=$\frac{1}{4}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$），
=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$，
=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{100}$，
=$\frac{37}{50}$，
故答案為：$\frac{37}{50}$．

點評 本題考查等差數列的通項公式的求法，考查“裂項法”求數列的前n項和公式，考查計算能力，屬于中檔題．