Question

11．已知A，B是球O的球面上的兩點，∠AOB=$\frac{π}{2}$，C為該球球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為3，則球的體積為24π．

Answer 1

分析 當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大，利用三棱錐O-ABC體積的最大值為3，求出半徑，即可求出球O的表面積．

解答 解：如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大，設球O的半徑為R，此時V_O-ABC=V_C-AOB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{R}^{2}×R$=$\frac{1}{6}{R}^{3}$=3
∴R³=18，
則球O的體積為$\frac{4}{3}$πR³=24π．
故答案為：24π．

點評 本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計算，確定點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大是關鍵．