Question

1．已知函數f（x）=|x+1|-|x-1|+a（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）≥0的解集；
（Ⅱ）若方程f（x）=x有三個實數根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據絕對值的意義，求得不等式f（x）≤6的解集．
（Ⅱ）函數f（x）的圖象與直線y=x有3個不同的交點，數形結合可得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵a=1時，f（x）=|x+1|-|x-1|+1，
∴當x≤-1時，f（x）=-1，不可能非負．
當-1＜x＜1時，f（x）=2x+1，由f（x）≥0可解得x≥$-\frac{1}{2}$，于是$-\frac{1}{2}$≤x＜1．
當x≥1時，f（x）=3＞0恒成立．
∴不等式f（x）≥0的解集$[-\frac{1}{2}\;，\;\;+∞）$．…（5分）
（Ⅱ）由方程f（x）=x可變形為a=x+|x-1|-|x+1|．
令$h（x）=x+|{x-1}|-|{x+1}|=\left\{\begin{array}{l}x+2，x＜-1\\-x，\;\;\;-1≤x≤1\\ x-2，x＞1\end{array}\right.$
作出圖象如右． …（8分）
于是由題意可得-1＜a＜1．…（10分）

點評 本題主要絕對值的意義，方程根的存在性以及個數判斷，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．