Question

16．函數$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的圖象（部分）如圖．
（1）求f（x）解析式
（2）若$α∈（{0，\frac{π}{3}}），且f（{\frac{α}{π}}）=\frac{4}{3}$，求cosα．

Answer 1

分析 （1）利用函數的圖象，求出A，T，解出ω，求出$ϕ=\frac{π}{6}$，即可得到函數的解析式．
（2）利用已知條件轉化求出角的正弦函數，利用角的變換，求解即可．

解答 解：（1）由圖得：A=2．
由$\frac{T}{4}=\frac{2π}{4ω}=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$，解得ω=π． …（3分）
由$f（\frac{1}{3}）=2sin（\frac{π}{3}+ϕ）=2$，可得$\frac{π}{3}+ϕ=2kπ+\frac{π}{2}$，解得$ϕ=2kπ+\frac{π}{6}$，
又$|ϕ|＜\frac{π}{2}$，可得$ϕ=\frac{π}{6}$，
∴$f（x）=2sin（πx+\frac{π}{6}）$．…（6分）
（2）由（Ⅰ）知$f（\frac{α}{π}）=2sin（α+\frac{π}{6}）=\frac{4}{3}$，
∴$sin（α+\frac{π}{6}）=\frac{2}{3}$，
由α∈（0，$\frac{π}{3}$），得$α+\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
∴$cos（α+\frac{π}{6}）=\sqrt{1-{{（\frac{2}{3}）}^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$． …（9分）
∴$cosα=cos[（α+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}]$=$cos（α+\frac{π}{6}）cos\frac{π}{6}+sin（α+\frac{π}{6}）sin\frac{π}{6}$
=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{15}+2}}{6}$． …（12分）

點評 本題考查兩角和與差的三角函數，三角函數的解析式的求法，考查計算能力．