Question

4．設f（x）=x²-2x，x∈[t，t+1]（t∈R），函數f（x）的最小值為g（t）
（1）求g（t）的解析式．
（2）求函數g（t）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出二次函數的對稱軸，對x∈[t，t+1]與對稱軸的關系討論其最小值，可得g（t）的解析式．
（2）根據函數g（t）的定義域范圍與二次函數的性質求值域

解答 解：（1）f（x）=x²-2x，
∵f（x）的圖象拋物線開口向上，對稱軸為直線x=1，
∴當t+1≤1，即t≤0時，f（x）在[t，t+1]上單調遞減，∴當x=t+1時，g（t）=f（t+1）=t²-1；
當t＜1＜t+1，即0＜t＜1時，g（t）=f（1）=-1；
當t≥1時，f（x）在[t，t+1]上單調遞增，g（t）=f（t）=t²-2t．
綜上，g（t）的解析式為：$g（t）=\left\{\begin{array}{l}{t^2}-1，t≤0\\-1，0＜t＜1\\{t^2}-2t，t≥1\end{array}\right.$；
（2）當t≤0時，g（t）=t²-1為減函數，g（t）≥g（0）=-1，
當0＜t＜1時，g（t）=-1，
當t≥1時，g（t）=t²-2t=（t-1）²-1為增函數，g（t）≥g（1）=-1，
綜上函數g（t）的值域為[-1，+∞）．

點評 本題考查了二次函數在其定義域范圍內的單調性的討論求最值的問題．要抓住開口方向和對稱軸是關鍵．屬于中檔題．