Question

13．已知圓O半徑為2，弦AB=2，點C為圓O上任意一點，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值是6．

Answer 1

分析 可取AB的中點D，并連接OD，OA，OC，則可根據條件求得$cos∠OAD=\frac{1}{2}$，而$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$，代入$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$進行數量積的運算即可求得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=4cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}＞+2$，從而便可得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值．

解答 解：如圖，取AB中點D，連接OD，OA，OC，則：
cos∠OAD=$\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OA}$
=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{OC}|cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}＞+|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{OA}|cos∠OAD$
=$4cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}＞+2$
≤6；
當$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}＞=1$，即$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}$同向時取“=”；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值為6．
故答案為：6．

點評 考查圓心和弦中點的連線和弦垂直，三角函數的定義，向量減法的幾何意義，以及向量數量積的運算及計算公式，余弦函數的最大值，向量夾角的概念．