Question

5．若存在兩個正實數x，y，使得等式3x+a（2y-4ex）（lny-lnx）=0成立，其中e為自然對數的底數，則實數a的取值范圍是$（{-∞，0}）∪[{\frac{3}{2e}，+∞}）$．

Answer 1

分析 根據函數與方程的關系將方程進行轉化，利用換元法轉化為方程有解，構造函數求函數的導數，利用函數極值和單調性的關系進行求解即可

解答 解：解：由3x+a（2y-4ex）（lny-lnx）=0得3x+2a（y-2ex）ln$\frac{y}{x}$=0，
即3+2a（$\frac{y}{x}$-2e）ln$\frac{y}{x}$=0，
即設t=$\frac{y}{x}$，則t＞0，
則條件等價為3+2a（t-2e）lnt=0，
即（t-2e）lnt=-$\frac{3}{2a}$有解，
設g（t）=（t-2e）lnt，
g′（t）=lnt+1-$\frac{2e}{t}$為增函數，
∵g′（e）=lne+1-$\frac{2e}{e}$=1+1-2=0，
∴當t＞e時，g′（t）＞0，
當0＜t＜e時，g′（t）＜0，
即當t=e時，函數g（t）取得極小值為：g（e）=（e-2e）lne=-e，
即g（t）≥g（e）=-e，
若（t-2e）lnt=-$\frac{3}{2a}$有解，
則-$\frac{3}{2a}$≥-e，即$\frac{3}{2a}$≤e，
則a＜0或a≥$\frac{3}{2a}$，
故實數a的取值范圍是$（{-∞，0}）∪[{\frac{3}{2e}，+∞}）$．
故答案為：$（{-∞，0}）∪[{\frac{3}{2e}，+∞}）$．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據函數與方程的關系，轉化為兩個函數相交問題，利用構造法和導數法求出函數的極值和最值是解決本題的關鍵．綜合性較強