Question

17．在平面直角坐標系中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數）；現以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=8cosθ．
（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）過點P（-1，0）且與直線l平行的直線l₁交C于A，B兩點；
①求|AB|的值；
②求|PA|+|PB|的值；
③若線段AB的中點為Q，求|PQ|的值及點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的互化方法，即可寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）過點P（-1，0）且與直線l平行的直線l₁的方程為x-y+1=0，求出弦心距，聯立直線方程，即可解決問題．

解答 解：（1）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），消去參數，可得普通方程l：x-y-2=0；
曲線C的極坐標方程為ρ=8cosθ，即ρ²=8ρcosθ，化為直角坐標方程為 x²+y²=8x，即：（x-4）²+y²=16
（2）過點P（-1，0）且與直線l平行的直線l₁的方程為x-y+1=0，
①圓心到直線的距離d=$\frac{5}{\sqrt{2}}$，∴|AB|=2$\sqrt{16-\frac{25}{2}}$=$\sqrt{14}$；
②設AB的中點為Q，則|PQ|=$\sqrt{25-\frac{25}{2}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$，
∴|PA|+|PB|=2|PQ|=$5\sqrt{2}$；
③由（2）知$|PQ|=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$，直線CQ的方程為x+y-4=0，與x-y+1=0聯立，可得點Q的坐標$Q（\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$．

點評 本題考查三種方程的互化，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．