Question

6．已知函數f（x）對任意的x，y∈R，總有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性并證明；
（2）若x＜0時恒有f（x）＞0，判斷函數f（x）的單調性并證明．

Answer 1

分析 （1）函數f（x）為R上的奇函數．根據函數f（x）對任意的x，y∈R，總有f（x+y）=f（x）+f（y）．令y=x=0，可得f（0）=0，令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x），化為f（-x）=-f（x），即可證明．
（2）函數f（x）在R上單調遞減．下面給出證明：?x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，f（x₁-x₂）＞0，只要證明f（x₁）-f（x₂）＞0即可．

解答 解：（1）函數f（x）為R上的奇函數．∵函數f（x）對任意的x，y∈R，總有f（x+y）=f（x）+f（y）．
∴令y=x=0，可得f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，
令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x），化為f（-x）=-f（x），
因此函數f（x）為R上的奇函數．
（2）函數f（x）在R上單調遞減．
下面給出證明：?x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，f（x₁-x₂）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數f（x）在R上單調遞減．

點評 本題考查了抽象函數的單調性與奇偶性、不等式與方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．