Question

2．設函數f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，則b的取值范圍是（　　）

• A． [0，2]
• B． （0，2]
• C． （-2，2）
• D． [-2，2]

Answer 1

分析 若對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，f（x）_max-f（x）_min≤4，結合二次函數的圖象和性質分類討論，可得實數b的取值范圍．

解答 解：函數f（x）=x²+bx+c對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4恒成立，
即f（x）_max-f（x）_min≤4，
記f（x）_max-f（x）_min=M，則M≤4．
當|-$\frac{b}{2}$|＞1，即|b|＞2時，M=|f（1）-f（-1）|=|2b|＞4，與M≤4矛盾；
當|-$\frac{b}{2}$|≤1，即|b|≤2時，M=max{f（1），f（-1）}-f（-$\frac{b}{2}$）
=$\frac{1}{2}$[f（1）+f（-1）+|f（1）-f（-1）]|-f（-$\frac{b}{2}$）=（1+$\frac{|b|}{2}$）²≤4，
解得：|b|≤2，
即-2≤b≤2，
綜上，b的取值范圍為-2≤b≤2．
故選：D

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．