Question

12．已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應的一個特征向量$\overrightarrow{e_1}=[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]$，并且矩陣M將點（-1，3）變換為（0，8）．求矩陣M．

Answer 1

分析 設出矩陣，利用特征向量的定義，即二階變換矩陣的概念，建立方程組，即可得到結論．

解答 解：設$M=[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}]$，由$[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}][{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}]=8[{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}]$及$[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}][{\begin{array}{l}{-1}\\ 3\end{array}}]=[{\begin{array}{l}0\\ 8\end{array}}]$，…（5分）
得$\left\{\begin{array}{l}a+b=8\\ c+d=8\\-a+3b=0\\-c+3d=8\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=6\\ b=2\\ c=4\\ d=4\end{array}\right.$，∴$M=[{\begin{array}{l}6&2\\ 4&4\end{array}}]$…（10分）

點評 本題考查特征值，考查二階變換矩陣，考查學生的計算能力，屬于中檔題．