Question

2．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx＞cosx}\\{cosx，sinx≤cosx}\end{array}\right.$，關于f（x）的敘述
①最小正周期為2π
②有最大值1和最小值-1
③對稱軸為直線$x=kπ+\frac{π}{4}（{k∈Z}）$
④對稱中心為$（{kπ+\frac{π}{4}，0}）（k∈Z）$
⑤在$[{\frac{π}{2}，π}]$上單調遞減
其中正確的命題序號是①③⑤．（把所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析 解：畫出函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx＞cosx}\\{cosx，sinx≤cosx}\end{array}\right.$的圖象，數形結合可得結論．

解答 解：∵函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx＞cosx}\\{cosx，sinx≤cosx}\end{array}\right.$，表示取sinx和cosx中值較小的，它的圖象如圖中紅色部分所示：
而sinx和cosx都是周期為2π的函數，∴f（x）的最小正周期為2π，故①正確．
結合f（x）的圖象可得f（x）的最大值為1，最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故②錯誤．
結合f（x）的圖象可得f（x）的最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（x）的圖象的對稱軸為直線$x=kπ+\frac{π}{4}（{k∈Z}）$，
故③正確，④錯誤．
函數f（x）在$[{\frac{π}{2}，π}]$上單調遞減，故⑤正確，
故答案為：①③⑤．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，屬于中檔題．