Question

17．已知函數f（x）=-x²+2x，g（x）=|f（x）|．
（1）求f（x）在區間[-1，2]上的最小值；
（2）作出函數g（x）的圖象，并根據圖象寫出其單調減區間；
（3）若函數y=g（x）-log₂m至少有三個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數的性質即可求出函數的最小值，
（2）先化為分段函數，再畫圖即可，并根據圖象寫出其單調減區間，
（3）由題意可知y=g（x）與y=log₂m的兩圖象至少有三個交點，結合圖象可得．

解答 解：（1）∵f（x）在[-1，1]上是增函數，在（1，2]上是減函數，
∴f（x）_min=f（-1）=-1-2=-3．
（2）∵$g（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x，0≤x≤2\\{x^2}-2x，x＜0或x＞2\end{array}\right.$
∴作出函數g（x）的圖象如圖，

故函數g（x）的單調遞減區間是（-∞，0）和（1，2）．
（3）由題意可知y=g（x）與y=log₂m的兩圖象至少有三個交點，
所以根據（2）中圖象可得0＜log₂m≤1，
∴1＜m≤2，
即m∈（1，2]．

點評 本題考查了二次函數的圖象和性質以及絕對值函數圖象的畫法和參數的取值范圍，屬于中檔題