Question

1．已知命題p：方程x²-2x+m=0有兩個不相等的實數根；命題q：對任意x∈[0，8]，不等式log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）≥m²-3m恒成立．若“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：方程x²-2x+m=0有兩個不相等的實數根，可得△＞0，解得m；命題q：不等式log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）≥m²-3m恒成立等價于m²-3m小于或等于log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）在x∈[0，8]上的最小值，從而問題轉化為利用單調性求函數f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）最小值問題，求得m的范圍；若“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，可得p與q必然一真一假，求解不等式組即可得答案．

解答 解：命題p：∵方程x²-2x+m=0有兩個不相等的實數根，∴△=4-4m＞0，解得m＜1；
命題q：f（x）=log$_{\frac{1}{3}}$（x+1），則f（x）在（-1，+∞）上為減函數，∵x∈[0，8]，
∴當x=8時，f（x）_min=f（8）=-2．不等式log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）≥m²-3m恒成立，
等價于-2≥m²-3m，解得1≤m≤2．
p且q為假，p或q為真，則p與q有且只有一個為真．
若p為真，q為假，那么$\left\{\begin{array}{l}{m＜1或m＞2}\\{m＜1}\end{array}\right.$，則m＜1．
若p為假，q為真，那么 $\left\{{\begin{array}{l}{1≤m≤2}\\{m≥1}\end{array}}\right.$，則1≤m≤2．
綜上所述m≤2．

點評 本題考查了一元二次方程的實數根與判別式的關系，考查了不等式恒成立問題的解法，恰當的將恒成立問題轉化為求函數最值問題是解決本題的關鍵，考查了推理能力，屬于中檔題．