Question

16．曲線$y={x^3}-\sqrt{3}x+2$上的任意一點P處切線的傾斜角的取值范圍是（　�。�

• A． $[{0，\frac{π}{2}}）∪[{\frac{2π}{3}，π}）$
• B． $[{\frac{2π}{3}，π}）$
• C． $[{0，\frac{π}{2}}）∪[{\frac{5π}{6}，π}）$
• D． $[{\frac{5π}{6}，π}）$

Answer 1

分析 設P（m，n），求出函數y的導數，求得切線的斜率，由二次函數的性質可得斜率的范圍，再由直線的斜率公式k=tanα（0≤α＜π且α≠$\frac{π}{2}$），即可得到所求范圍．

解答 解：設P（m，n），
y=x³-$\sqrt{3}$x+2的導數為y′=3x²-$\sqrt{3}$，
即有切線的斜率為k=3m²-$\sqrt{3}$，
由直線的斜率公式k=tanα（0≤α＜π，且α≠$\frac{π}{2}$），
可得tanα≥-$\sqrt{3}$，
解得α∈$[{0，\frac{π}{2}}）∪[{\frac{2π}{3}，π}）$，
故選A．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率，考查導數的幾何意義，以及直線的斜率公式和傾斜角的范圍，屬于中檔題．