Question

16．在正項等比數列{a_n}中，a₄+a₃-a₂-a₁=1，則a₅+a₆的最小值是（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 設 a₂+a₁=x，等比數列的公比為q，由條件求得 x=$\frac{1}{{q}^{2}-1}$＞0，q＞1，再由a₅+a₆ =xq⁴ =$\frac{{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=q²+1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$）=q²-1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$+2，利用基本不等式求出a₅+a₆的最小值．

解答 解：在正項等比數列{a_n}中，設 a₂+a₁=x，等比數列的公比為q，
則a₄+a₃ =xq²，a₅+a₆ =xq⁴．
再由a₄+a₃-a₂-a₁=1，可得xq²=1+x，∴x=$\frac{1}{{q}^{2}-1}$＞0，q＞1．
∴a₅+a₆ =xq⁴ =$\frac{{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=q²+1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$）=q²-1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$+2≥2+2=4，
當且僅當q²-1=1時，等號成立，故a₅+a₆的最小值為4，
故選C．

點評 本題主要考查等比數列的定義和性質，等比數列的通項公式以及基本不等式的應用，屬于中檔題．