Question

4．已知函數f（x）為奇函數，且x＞0時f（x）=2^x-2，則不等式f（x+1）＜0的解集為（　　）

• A． {x|x＜0或1＜x＜2}
• B． {x|-2＜x＜-1或x＞0}
• C． {x|x＜-2或-1＜x＜0}
• D． {x|0＜x＜1或x＞2}

Answer 1

分析 根據函數為奇函數求出f（-1）=0，再將不等式f（x+1）＜0分成兩類加以討論，再分別利用函數的單調性進行求解，可以得出相應的解集再求并即可．

解答 解：∵f（x）為奇函數，且在（0，+∞）上是增函數，f（1）=0，
∴f（-1）=-f（1）=0，且函數f（x）在（-∞，0）內是增函數．
∴f（x+1）＜0?當x+1＞0時，f（x+1）＜0=f（1）或
當x+1＜0時，f（x+1）＜0=f（-1）
根據f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內是都是增函數，
得到：0＜x+1＜1或x+1＜-1⇒-1＜x＜0或x＜-2
故選：C．

點評 本題主要考查了函數的奇偶性的性質，以及函數單調性的應用等有關知識，屬于基礎題．結合函數的草圖，會對此題有更深刻的理解．