Question

3．在△ABC中，已知A，B，C分別為邊a，b，c所對的角，已知$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=2$，a+b=ab，其面積$S=\sqrt{3}$，則邊c=2．

Answer 1

分析 由平面向量數量積的運算得到ab•cosC=2，結合正弦定理得到C；最后根據余弦定理可以求得c的值．

解答 解：∵在△ABC中，已知A，B，C分別為邊a，b，c所對的角，已知$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=2$，
∴ab•cosC=2，①
∵$S=\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{3}$，則absinC=2$\sqrt{3}$，②
由①②得到tanC=$\sqrt{3}$．
∵0＜C＜180°，
∴C=60°．
∵a+b=ab，
∴ab=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=4²-2×4=8，
再由余弦定理可得 c²=a²+b²-2ab•cosC=8-4=4，
則c=2（舍去負值）．
故答案是：2．

點評 本題考查了正弦定理和平面向量數量積的運算，考查運算能力，屬于基礎題．