Question

15．定義平面向量的一種運算：$\overrightarrow a$?$\overrightarrow b$=|${\overrightarrow a}$|•|${\overrightarrow b}$|•sin＜${\overrightarrow a$，$\overrightarrow b}$＞，則下列命題：
①$\overrightarrow a$?$\overrightarrow b$=$\overrightarrow b$?$\overrightarrow a$；               
②λ（$\overrightarrow a$?$\overrightarrow b$）=（λ$\overrightarrow a$）?（λ$\overrightarrow b$）；
③（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）?$\overrightarrow c$=$\overrightarrow a$?$\overrightarrow c$+$\overrightarrow b$?$\overrightarrow c$；   
④若$\overrightarrow a$=（x₁，y₁），$\overrightarrow b$=（x₂，y₂），則$\overrightarrow a$?$\overrightarrow b$=|x₁y₂-x₂y₁|
其中真命題是①④．

Answer 1

分析 ①根據定義不難得出是正確的；
②依據定義即可判斷其正確性；
③直接代入定義即可驗證；
④根據給出的兩向量的坐標，求出對應的模，運用向量數量積公式求兩向量夾角的余弦值，則正弦值可求，最后直接代入定義即可．

解答 解：對于①：$\overrightarrow a$?$\overrightarrow b$=|${\overrightarrow a}$|•|${\overrightarrow b}$|•sin＜${\overrightarrow a$，$\overrightarrow b}$＞，而$\overrightarrow b$?$\overrightarrow a$=|${\overrightarrow b}$|•|${\overrightarrow a}$|•sin＜$\overrightarrow{b}$，${\overrightarrow a$＞，故①正確，
對于②λ（$\overrightarrow a$?$\overrightarrow b$）=λ|${\overrightarrow a}$|•|${\overrightarrow b}$|•sin＜${\overrightarrow a$，$\overrightarrow b}$＞，（λ$\overrightarrow a$）?（λ$\overrightarrow b$）=λ²|${\overrightarrow a}$|•|${\overrightarrow b}$|•sin＜${\overrightarrow a$，$\overrightarrow b}$＞；故②不正確，
對于③（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）?$\overrightarrow c$=$\overrightarrow a$?$\overrightarrow c$+$\overrightarrow b$?$\overrightarrow c$，顯然不成立，
對于④∵$\overrightarrow a$=（x₁，y₁），$\overrightarrow b$=（x₂，y₂），
∴|${\overrightarrow a}$|=$\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}$，|${\overrightarrow b}$|=$\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=x₁x₂+y₁y₂，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}•\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}}}$，
∴sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{|{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}|}{\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}•\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}}}$，
則$\overrightarrow a$?$\overrightarrow b$=|x₁y₂-x₂y₁|，故④正確
故答案為：①④

點評 本題考查的知識點是平面向量的運算，合情推理，正確理解新定義及熟練掌握向量的運算性質是解題的關鍵．