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5.在△OAB中,$\overrightarrow{OA}$=4$\overrightarrow{OC}$,$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OD}$,AD,BC的交點為M,過M作動直線l分別交線段AC,BD于E,F兩點,若$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OF}$=μ$\overrightarrow{OB}$,(λ,μ>0),則λ+μ的最小值為(  )
A.$\frac{{2+\sqrt{3}}}{7}$B.$\frac{{3+\sqrt{3}}}{7}$C.$\frac{{3+2\sqrt{3}}}{7}$D.$\frac{{4+2\sqrt{3}}}{7}$

分析 由已知可得$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{OB}$,若過M作動直線l分別交線段AC,BD于E,F兩點,若$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OF}$=μ$\overrightarrow{OB}$,(λ,μ>0),則$\frac{1}{λ}$+$\frac{3}{μ}$=7,再由基本不等式可得答案.

解答 解:由A,M,D三點共線可得存在實數t使得
$\overrightarrow{OM}$=t$\overrightarrow{OA}$+(1-t)$\overrightarrow{OD}$=t$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$(1-t)$\overrightarrow{OB}$,
同理由C,M,B三點共線可得存在實數m使得
$\overrightarrow{OM}$=m$\overrightarrow{OB}$+(1-m)$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$(1-m)$\overrightarrow{OA}$+m$\overrightarrow{OB}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}t=\frac{1}{4}(1-m)\\ \frac{1}{2}(1-t)=m\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{3}{7}\\ t=\frac{1}{7}\end{array}\right.$,
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{OB}$,
設$\overrightarrow{OM}$=x$\overrightarrow{OE}$+y$\overrightarrow{OF}$=xλ$\overrightarrow{OA}$+yμ$\overrightarrow{OB}$,
則$\left\{\begin{array}{l}xλ=\frac{1}{7}\\ yμ=\frac{3}{7}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}7x=\frac{1}{λ}\\ 7y=\frac{3}{μ}\end{array}\right.$,
即$\frac{1}{λ}$+$\frac{3}{μ}$=7,
故λ+μ=$\frac{1}{7}$(λ+μ)($\frac{1}{λ}$+$\frac{3}{μ}$)=$\frac{1}{7}$(1+3+$\frac{μ}{λ}$+$\frac{3λ}{μ}$)≥$\frac{4+2\sqrt{3}}{7}$,
即λ+μ的最小值為$\frac{4+2\sqrt{3}}{7}$,
故選:D

點評 本題考查的知識點是平面向量在幾何中的應用,三點共線的充要條件,基本不等式的應用,難度中檔.

練習冊系列答案
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②λ($\overrightarrow a$?$\overrightarrow b$)=(λ$\overrightarrow a$)?(λ$\overrightarrow b$);
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