Question

14．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a+b=2c，則∠C的取值范圍為$（0，\frac{π}{3}]$．

Answer 1

分析 將已知條件平方后，結合余弦定理，及基本不等式求解出cosC的范圍．得出角C的范圍．

解答 解：在△ABC中，∵a+b=2c，
∴（a+b）²=4c²
∴a²+b²=4c²-2ab≥2ab
即c²≥ab．
當且僅當a=b是，取等號．
由余弦定理知
cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{3{c}^{2}-2ab}{2ab}$=$\frac{3{c}^{2}}{2ab}-1$$≥\frac{1}{2}$
∴$0＜C≤\frac{π}{3}$
故填：$（0，\frac{π}{3}]$

點評 考查余弦定理與基本不等式，三角函數范圍問題，切入點較難，故屬于中檔題．