Question

2．已知四棱錐P-ABCD的頂點都在球O的球面上，底面ABCD是邊長為2的正方形，且側棱長都相等，若四棱稚的體積為$\frac{16}{3}$，則該球的表面積為（　　）

• A． $\frac{32π}{3}$
• B． $\frac{81π}{4}$
• C． 9π
• D． $\frac{243π}{16}$

Answer 1

分析 設球半徑為R，底面中心為O'且球心為O．利用底面ABCD是邊長為2的正方形，且側棱長都相等，若四棱稚的體積為$\frac{16}{3}$，求出PO'=2、OO'=4-R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立關于R的等式，解出R，即可求出球的表面積．

解答 解：如圖所示，設球半徑為R，底面中心為O'且球心為O，
∵底面ABCD是邊長為2的正方形，且側棱長都相等，若四棱稚的體積為$\frac{16}{3}$，
∴$\frac{1}{3}×2×2×PO′$=$\frac{16}{3}$，
∴PO'═4，OO'=PO'-PO=4-R．
∵在Rt△AOO'中，AO²=AO'²+OO'²，
∴R²=（$\sqrt{2}$）²+（4-R）²，解之得R=$\frac{9}{4}$．
∴該球的表面積為4πR²=$\frac{81}{4}π$
故選：B．

點評 本題給出正四棱錐的形狀，求球的表面積，著重考查了正棱錐的性質、多面體的外接球、勾股定理等知識，屬于中檔題．