Question

10．若f（x）=Asin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0，|θ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象如圖所示，
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）的單調區間及對稱軸．

Answer 1

分析 （1）根據圖象求出A，ω 和φ，即可求函數f（x）的解析式；
（2）根據正弦函數圖象及性質可得f（x）的單調區間及對稱軸．

解答 解：：（1）由題設圖象知，周期T=$\frac{11π}{12}$-（-$\frac{π}{12}$）=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2．
∵點（-$\frac{π}{12}$，0）在函數圖象上，
∴Asin（-2×$\frac{π}{12}$+φ）=0，即sin（$-\frac{π}{6}$+φ）=0．
又∵$-\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{2π}{3}$＜$-\frac{π}{6}$+φ＜$\frac{π}{3}$，從而$-\frac{π}{6}$+φ=0，即φ=$\frac{π}{6}$．
又∵點（0，1）在函數圖象上，
∴1=Asin（$\frac{π}{6}$），
解得：A=2．
故函數f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
根據正弦函數圖象及性質，
可知：2x+$\frac{π}{6}$∈[2πk$-\frac{π}{2}$$，2kπ+\frac{π}{2}$]是單調增區間，即2πk$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，
解得：kπ$-\frac{π}{3}$≤x≤kπ$+\frac{π}{6}$．（k∈Z）
可知：2x+$\frac{π}{6}$∈[2πk$+\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{3π}{2}$]是單調減區間，即2πk$+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{3π}{2}$，
解得：kπ$+\frac{π}{6}$≤x≤kπ$+\frac{5π}{3}$．（k∈Z）
可知：對稱軸方程為2x+$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$，（k∈Z）
解得：x=$\frac{1}{2}$kπ$+\frac{π}{6}$，（k∈Z）
故得f（x）的單調增區間是[kπ$-\frac{π}{3}$，kπ$+\frac{π}{6}$]（k∈Z）；
單調減區間是[kπ$+\frac{π}{6}$，kπ$+\frac{5π}{3}$]（k∈Z）；
對稱軸方程：x=$\frac{1}{2}$kπ$+\frac{π}{6}$，（k∈Z）；

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，學會看圖象，搞懂圖象的含義求出函數的解析式的關鍵．