Question

20．設$\sqrt{3}$b是1-a和1+a的等比中項（a＞0，b＞0），則a+$\sqrt{3}$b的最大值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 推導出a²+3b²=1，令a=cosθ，$\sqrt{3}$b=sinθ，θ∈（0，2π），由此利用三角函數性質能求出a+$\sqrt{3}$b的最大值．

解答 解：∵$\sqrt{3}$b是1-a和1+a的等比中項（a＞0，b＞0），
∴$\sqrt{3}b$=$\sqrt{（1-a）（1+a）}$=$\sqrt{1-{a}^{2}}$，
∴a²+3b²=1，
∵a＞0，b＞0，
∴令a=cosθ，$\sqrt{3}$b=sinθ，θ∈（0，2π）．
則：a+$\sqrt{3}$b=cosθ+sinθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$．
∴a+$\sqrt{3}$b的最大值為$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查兩數和的最大值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數列的性質、換元法、三角函數性質的合理運用．