Question

7．已知圓M：x²+y²-2x+a=0．
（1）若a=-8，過點P（4，5）作圓M的切線，求該切線方程；
（2）若AB為圓M的任意一條直徑，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-6（其中O為坐標原點），求圓M的半徑．

Answer 1

分析 （1）分類討論：當切線的斜率存在時，設切線的方程為 l：y-5=k（x-4），利用直線與圓相切的性質即可得出．斜率不存在時直接得出即可．
（2）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MA}$）•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MB}$），即可得出結論．

解答 解：（1）若a=-8，圓M：x²+y²-2x+a=0即（x-1）²+y²=9，圓心（1，0），半徑為3，
斜率不存在時，x=4，滿足題意；
斜率存在時，切線l的斜率為 k，則 l：y-5=k（x-4），即l：kx-y-4k+5=0 
由$\frac{|-3k+5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，解得k=$\frac{8}{15}$，∴l：8x-15y+43=0，
綜上所述切線方程為x=4或8x-15y+43=0；
（2）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MA}$）•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MB}$）=1-（1-a）=-6，∴a=-6，
∴圓M的半徑=$\sqrt{1+6}$=$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了二次方程與圓的方程之間的關系、直線與圓相切的性質、點到直線的距離公式，考查了向量的數量積公式，屬于中檔題．