Question

6．已知函數f（x）=x²+（a-1）x+4，g（x）=x²+（a+1）x+a+4，若不存在實數x₀，使得$\left\{\begin{array}{l}f（{x_0}）＜0\\ g（{x_0}）＜0\end{array}\right.$，則實數a的取值范圍為$[{1-\sqrt{17}，1+\sqrt{17}}]$．

Answer 1

分析 求出兩個函數的對稱軸，通過判別式，結合已知條件列出不等式，求解即可．

解答 解：函數f（x）=x²+（a-1）x+4，的對稱軸為：x=$\frac{1-a}{2}$；△₁=（a-1）²-16，
g（x）=x²+（a+1）x+a+4，的對稱軸為：x=$\frac{-1-a}{2}$；△₂=（a+1）²-4a-16=（a-1）²-16，
兩個函數的開口向上，并且△₁=△₂；當a∈[-3，5]時，△₁=△₂≤0，滿足題意；
當a＜-3或a＞5時，x²+（a-1）x+4=0的小根：x=$\frac{1-a-\sqrt{（a-1）^{2}-16}}{2}$；
x²+（a+1）x+a+4的大根為：x=$\frac{-1-a+\sqrt{（a-1）^{2}-16}}{2}$；
若不存在實數x₀，使得$\left\{\begin{array}{l}f（{x_0}）＜0\\ g（{x_0}）＜0\end{array}\right.$，
可得：$\frac{1-a-\sqrt{（a-1）^{2}-16}}{2}$≥$\frac{-1-a+\sqrt{（a-1）^{2}-16}}{2}$；
可得1-$\sqrt{17}$≤a＜-3或5＜a≤1+$\sqrt{17}$
綜上a∈$[{1-\sqrt{17}，1+\sqrt{17}}]$．
故答案為：$[{1-\sqrt{17}，1+\sqrt{17}}]$．

點評 本題考查二次函數的簡單性質的應用，函數恒成立，考查分類討論思想的應用，難度比較大．