Question

6．已知f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2ln x．
（1）當a=1時，求函數F（x）=f（x）-g（x）的單調區間．
（2）若方程f（x）=g（x）在區間[$\sqrt{2}$，e]上有兩個不等解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導數求單調區間；
（2）方程f（x）=g（x）在區間[$\sqrt{2}$，e]上有兩個不等解?a=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$在區間[$\sqrt{2}$，e]上有兩個不等解．
令G（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，根據G（x）的單調性及圖象，求出a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，F（x）=f（x）-g（x）=x²-2ln x，其定義域為（0，+∞），
∴F′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{{2（{{x^2}-1}）}}{x}$（x＞0）
當$\frac{{2（{{x^2}-1}）}}{x}$＞0時，x＞1； 當$\frac{{2（{{x^2}-1}）}}{x}$＜0時，0＜x＜1…（4分）
∴當a=1時函數F（x）=f（x）-g（x）的單調遞增區間為（1，+∞），單調遞減區間為（0，1）．
（2）方程f（x）=g（x）在區間[$\sqrt{2}$，e]上有兩個不等解?a=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$在區間[$\sqrt{2}$，e]上有兩個不等解．
令G（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，G′（x）=$\frac{2x（1-2lnx）}{{x}^{4}}=0$，⇒x=$\sqrt{e}$．
∴G（x）在（$\sqrt{2}$，$\sqrt{e}$）上為增函數，在（$\sqrt{e}$，e）上為減函數．
G（x）_max=G（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{e}$，G（e）=$\frac{2}{{e}^{2}}$＜G（2）=$\frac{2ln2}{4}=\frac{ln2}{2}=G（\sqrt{2}）$
∴$\frac{ln2}{2}≤a＜\frac{1}{e}$，∴a的取值范圍為[$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）

點評 本題考查了導數的綜合應用，轉化思想是關鍵，屬于壓軸題．