Question

14．已知函數$f（{x^2}-1）={log_m}\frac{{2-{x^2}}}{x^2}（m＞1）$
（1）求f（x）的解析式，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）比較$f（ln\sqrt{e}）$與$f（\frac{1}{3}）$的大小，并寫出必要的理由．

Answer 1

分析 （1）利用換元法以及函數奇偶性的定義即可求f（x）的解析式并判斷f（x）的奇偶性；
（2）利用對數函數的性質，進行比較即可．

解答 解：（1）設x²-1=t（t≥-1），則x²=t+1，
則f（t）=log_m$\frac{1-t}{1+t}$，
即f（x）=log_m$\frac{1-x}{1+x}$，x∈（-1，1），
設x∈（-1，1），則-x∈（-1，1），
則f（-x）=log_m$\frac{1+x}{1-x}$=-log_m$\frac{1-x}{1+x}$=-f（x），
∴f（x）為奇函數；
（2）$f（ln\sqrt{e}）$=f（$\frac{1}{2}$）=log_m$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=log_m$\frac{1}{3}$，
$f（\frac{1}{3}）$=log_m$\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$=log_m$\frac{1}{2}$，
∵m＞1，
∴y=log_mx為增函數，
∴log_m$\frac{1}{2}$＞log_m$\frac{1}{3}$，
即$f（ln\sqrt{e}）$＜$f（\frac{1}{3}）$．

點評 本題主要考查函數解析式的求解以及函數奇偶性的判斷，根據對數函數的性質是解決本題的關鍵．