Question

18．（1）△ABC的頂點坐標分別是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求它的外接圓的方程；
（2）△ABC的頂點坐標分別是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的內切圓的方程．

Answer 1

分析 （1）首先設所求圓的標準方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，然后根據點A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）在圓上列方程組解之；
（2）由已知得AB⊥AC，AB=4，AC=5，BC=12，由此求出△ABC內切圓的半徑和圓心，由此能求出△ABC內切圓的方程．

解答 解：（1）設所求圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，①
因為A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）都在圓上，
所以它們的坐標都滿足方程①，
于是$\left\{\begin{array}{l}{（5-a）^{2}+（1-b）^{2}={r}^{2}}\\{（7-a）^{2}+（-3-b）^{2}={r}^{2}}\\{（2-a）^{2}+（-8-b）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，可解得a=2，b=-3，r=25，
所以△ABC的外接圓的方程是（x-2）²+（y+3）²=25．
（2）∵△ABC三個頂點坐標分別為A（0，0），B（5，0），C（0，12），
∴AB⊥AC，AB=5，AC=12，BC=13，
∴△ABC內切圓的半徑r=$\frac{5+12-13}{2}$=2，圓心（2，2），
∴△ABC內切圓的方程為（x-2）²+（y-2）²=4．

點評 本題考查圓的方程，考查待定系數法的運用，考查三角形內切圓方程的求法，屬于中檔題．