Question

11．△AOB是直角邊長為1的等腰直角三角形，在坐標系中位置如圖所示，O為坐標原點，P（a，b）是三角形內任意一點，且滿足b=2a，過P點分別做OB，OA，AB三邊的平行線，求陰影部分面積的最大值及此時P點坐標．

Answer 1

分析 求出直線AB的方程，求出對應點的坐標，結合三角形和梯形的面積，利用一元二次函數的性質進行求解即可．

解答 解：AB的方程為y=-x+1，
則△PEF是等腰直角三角形，
∵P（a，b），
∴△PEF的面積S=$\frac{1}{2}$a²，
當y=b時，x=1-b=1-2a，
即H（1-2a，2a），則PH=1-3a，PN=2a，NB=1-a，
則梯形的面積S=$\frac{（1-3a+1-a）•2a}{2}$=2a-4a²，
則陰影部分的面積S=$\frac{1}{2}$a²+2a-4a²=-$\frac{7}{2}$a²+2a=-$\frac{7}{2}$（a-$\frac{2}{7}$）²+$\frac{2}{7}$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{0＜2a＜1}\end{array}\right.$，得0＜a＜$\frac{1}{2}$，
∴當a=$\frac{2}{7}$時，面積取得最大值$\frac{2}{7}$，
此時P（$\frac{2}{7}$，$\frac{4}{7}$）．

點評 本題主要考查函數最值的求解，根據三角形和梯形的面積公式，結合一元二次函數的性質是解決本題的關鍵．