Question

20．已知雙曲線的一個焦點為$（{2\sqrt{5}，0}）$，且漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，則該雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 根據題意，由雙曲線焦點的坐標分析可得其焦點在x軸上，且c=2$\sqrt{5}$，可以設其標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，結合題意可得²+b²=20，①以及$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，②，聯立兩個式解可得a²=16，b²=4，代入所設的標準方程中即可得答案．

解答 解：根據題意，要求雙曲線的一個焦點為$（{2\sqrt{5}，0}）$，則其焦點在x軸上，且c=2$\sqrt{5}$，
可以設其標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
又由c=2$\sqrt{5}$，則a²+b²=20，①
其漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，則有$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，②
聯立①、②可得：a²=16，b²=4，
故要求雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查雙曲線的標準方程的計算，可以用待定系數法分析．