Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點A（0，4），C（0，-4），頂點B在橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$上，則$\frac{sin（A+C）}{sinA+sinC}$=（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 首先根據(jù)所給的橢圓的方程寫出橢圓的長軸的長，兩個焦點之間的距離，根據(jù)正弦定理得到角的正弦值之比就等于邊長之比，把邊長代入，得到比值

解答 解：∵△ABC的頂點A（0，4），C（0，-4），頂點B在橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$上∴a=2，即AB+CB=2a，AC=2c
∵由正弦定理知$\frac{sinB}{sinA+sinC}=\frac{AC}{BC+AB}=\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$，∴則$\frac{sin（A+C）}{sinA+sinC}$=$\frac{4}{5}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)和正弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把角的正弦值之比寫成邊長之比，進(jìn)而和橢圓的參數(shù)結(jié)合起來．