Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=1，AD=2，E為PD的中點．
（1）求證：CD⊥平面PAC；
（2）求直線EC與平面PAC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）連接AC，推導出DC⊥PA，DC⊥AC，由此能證明CD⊥平面PAC．
（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線EC與平面PAC所成角的正切值．

解答 證明：（1）連接AC，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DC，即DC⊥PA，
過C作CC′⊥AD，交AD于C′，
則CC′=1，C′D=1，∴CD=2，
又AC=2，∴AC²+CD²=2+2=AD²，
∴DC⊥AC，
∵AC∩PA=A；
∴CD⊥平面PAC．
解：（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
C（1，1，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），P（0，0，1），A（0，0，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{EC}$=（1，0，-$\frac{1}{2}$），
∵CD⊥平面PAC，∴平面PAC的一個法向量$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
設直線EC與平面PAC所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{EC}|}{|\overrightarrow{CD}|•|\overrightarrow{EC}|}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{5}{4}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，cosθ=$\sqrt{1-\frac{10}{25}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
tanθ=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴直線EC與平面PAC所成角的正切值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．