Question

15．已知點A的坐標為（4，2），F是拋物線y²=2x的焦點，點M是拋物線上的動點，當|MF|+|MA|取得最小值時，點M的坐標為（2，2）．

Answer 1

分析 求出焦點坐標和準線方程，把|MF|+|MA|轉化為|MA|+|PM|，利用 當P、A、M三點共線時，|MA|+|PM|取得最小值，把y=2代入拋物線y²=2x 解得x值，即得M的坐標．

解答 解：由題意，F（$\frac{1}{2}$，0），準線方程為x=-$\frac{1}{2}$，
設M到準線的距離d=|PM|，則由拋物線的定義得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，
故當P、A、M三點共線時，|MF|+|MA|取得最小值為|AP|=4-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{9}{2}$．
把 y=2代入拋物線y²=2x 得 x=2，故點M的坐標是（2，2），
故答案為：（2，2）

點評 本題考查拋物線的定義和性質應用，解答的關鍵利用是拋物線定義，體現了轉化的數學思想．