Question

10．空氣污染，又稱為大氣污染，是指由于人類活動或自然過程引起某些物質進入大氣中，呈現處足夠的濃度，達到足夠的時間，并因此危害了人體的舒適、健康和福利或環境的現象．全世界也越來越關注環境保護問題．當空氣污染指數（單位：μg/m³）為0～50時，空氣質量級別為一級，空氣質量狀況屬于優；當空氣污染指數為50～100時，空氣質量級別為二級，空氣質量狀況屬于良；當空氣污染指數為100～150時，空氣質量級別為三級，空氣質量狀況屬于輕度污染；當空氣污染指數為150～200時，空氣質量級別為四級，空氣質量狀況屬于中度污染；當空氣污染指數為200～300時，空氣質量級別為五級，空氣質量狀況屬于重度污染；當空氣污染指數為300以上時，空氣質量級別為六級，空氣質量狀況屬于嚴重污染．2016年8月某日某省x個監測點數據統計如下：

空氣污染指數 （單位：μg/m3）	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]
監測點個數	15	40	y	10

（Ⅰ）根據所給統計表和頻率分布直方圖中的信息求出x，y的值，并完成頻率分布直方圖；
（Ⅱ）在空氣污染指數分別為50～100和150～200的監測點中，用分層抽樣的方法抽取10個監測點，從中任意選取4個監測點，求這4個監測點中空氣質量為良的個數ξ的期望．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：0.003×50x=15，15+40+y+10=x，即可解得x，y．
（II）在空氣污染指數為50～100和150～200的監測點中分別抽取8個和2個監測點．從抽取10個監測點，從中任意選取4個監測點，這4個監測點中空氣質量為良的個數ξ=2，3，4．可得P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{8}^{2}•{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{10}^{4}}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{8}^{3}•{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{10}^{4}}$，P（ξ=4）=$\frac{{∁}_{8}^{4}}{{∁}_{10}^{4}}$．即可得出數學期望．

解答 解：（I）由題意可得：0.003×50x=15，15+40+y+10=x，
解得x=100，y=35．
由此可得[50，100]的矩形的高=$\frac{\frac{40}{100}}{50}$=0.008，
同理可得[100，150]的矩形的高=0.007，[150，200]的矩形的高0.002．
可得頻率分布直方圖；
（II）在空氣污染指數為50～100和150～200的監測點中分別抽取8個和2個監測點．
從抽取10個監測點，從中任意選取4個監測點，
這4個監測點中空氣質量為良的個數ξ=2，3，4．
則P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{8}^{2}•{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{2}{15}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{8}^{3}•{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{8}{15}$，P（ξ=4）=$\frac{{∁}_{8}^{4}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{3}$．
可得ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{3}$

則E（ξ）=$2×\frac{2}{15}+3×\frac{8}{15}$+4×$\frac{1}{3}$=$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖及其性質、超幾何分布列的性質及其數學期望計算公式、分層抽樣，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．