Question

17．已知函數f（x）=sin2x+sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）將f（x）的圖象沿x軸向左平移m（m＞0）個單位，所得函數g（x）的圖象關于直線x=$\frac{π}{8}$對稱，求m的最小值及m最小時g（x）在$[0，\frac{π}{4}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期性，得出結論．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律求得g（x）的解析式，再利用余弦函數的定義域和值域，求得g（x）在$[0，\frac{π}{4}]$上的值域．

解答 解：（1）函數$f（x）=sin2x+sin（2x-\frac{π}{3}）$=sin2x+sin2xcos$\frac{π}{3}$-cos2xsin$\frac{π}{3}$
=$\frac{3}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）將f（x）的圖象沿x軸向左平移m（m＞0）個單位，所得函數g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+2m-$\frac{π}{6}$）的圖象，
根據所得圖象關于直線x=$\frac{π}{8}$對稱，可得$\frac{π}{4}$+2m-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，故m的最小值為$\frac{5π}{12}$．
此時，g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$），
在$[0，\frac{π}{4}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$]，即g（x）在$[0，\frac{π}{4}]$上的值域為[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的周期性和圖象的對稱性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，余弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．