Question

8．已知直線ax+by-1=0（ab＞0）經(jīng)過圓x²+y²-2x-4y=0的圓心，則$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$最小值是9．

Answer 1

分析 求得圓的圓心，代入直線方程，可得a+2b=1（a，b＞0），即有$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）×1=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）（a+2b）=5+$\frac{2a}{b}$+$\frac{2b}{a}$，運(yùn)用基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：圓x²+y²-2x-4y=0的圓心為（1，2），
由題意可得a+2b=1（a，b＞0），
則$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）×1=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）（a+2b）
=5+$\frac{2a}{b}$+$\frac{2b}{a}$≥5+4=9．
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{3}$時，取得最小值9．
故答案為：9．

點(diǎn)評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，注意運(yùn)用直線過圓心，考查乘1法和均值不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．